Bài: HẠNG CỦA MA TRẬN

2.3. Định nghĩa

          Hạng của ma ttrận A là một số, ký hiệu: rankA.

RankA là một const được định nghĩa là số lớn nhất trong các cấp của định thức con khác 0. Nghĩa là: nếu ma trận A vuông (hoặc chủ nhật) có định thức con cấp cao nhất là p ¹ 0, mà mọi định thức con khác (nếu có) cấp cao hơn p đều bằng 0.

Ví dụ 1: Cho ma trận sau A =

Khi đó: detA1 = |A1| = |2| = 2 ¹ 0.

detA2 = |A2| =  = -3 ¹ 0.

detA3 = |A3| =  = -15 ¹ 0.

          Vậy rankA = 3.

2.4. Các phương pháp tìm hạng của ma trận

2.4.1. Dùng định nghĩa

          Tổng quát nhất nhưng có yếu điểm là ta phải tính quá nhiều định thức.

Phương pháp:

          - Ta phải tính tất cả các định thức có thể có của ma trận đã cho.

          - So sánh định thức nào có cấp cao nhất giá trị định thức khác 0, thì cấp của định thức đó là hạng của ma trận cần tìm.

Lưu ý:

          Ta nên tính giá trị định thức có cấp cao nhất trước, chỉ cần một định thức cấp cao nhất nào đó khác 0 thì hạng của ma trận chính là cấp của định thức đó.

Ví dụ 2:

          Cho A = . Tìm rankA

          Ta có:

          Giá trị các định thức cấp 3 có thể có:

          det = || =  = 0; det = || =  = 0.

          det = || =  = 0; det = || =  = 0.

Các giá trị của định thức cấp 2:

          det = || =  = 0; det = || =  = 7 ¹ 0.

Vậy: rankA = 2.

2.4.2. Phương pháp dùng phép biến đổi sơ cấp

a) Đối với ma trận vuông:

          Ta dùng phép biến đổi sơ cấp biến đổi trên các dòng để đưa ma trận đã cho về dạng tam giác. Đếm các phần tử khác 0 trên đường chéo chính, ta có số phần tử khác 0 đó chính là số hạng của ma trận đã cho.

Ví dụ 3:

          Cho ma trận A =. Tìm rankA.

Ta có:

          - Đổi chổ dòng(1) và dòng(3): A ®

          - Lấy dòng(1) cộng vào dòng(2); dòng(1) nhân với (-2) cộng vào dòng(3); dòng(1) nhân với (-3) cộng vào dòng(4): A ®

          - Lấy dòng(3) nhân 4 cộng vào dòng(2); dòng(3) nhân với (-4) cộng vào dòng(4):    A ®

 - Đổi chổ dòng(2) và dòng(3):  A ®

- Lấy dòng(3) nhân với (15/21) cộng dòng(4): A ®

Vậy: rankA = 4.

b) Đối với ma trận chữ nhật:

          Dùng phép biến đổi sơ cấp, thực hiện biến đổi trên các dòng và hạng của ma trận là số dòng khác 0 của ma trận dạng bậc thang chính tắc.

          * Ma trận dạng bậc thang chính tắc là ma trận có các phần tử ở vị trí (a11, a22, ..., arr) ¹ 0, bắt đầu của các dòng và mỗi dòng sau cách dòng trước một phần tử theo cột.

          Tức là A có dạng

r dòng

 

(m-r) dòng

 
                          

Ví dụ 4: Cho A = . Tìm rankA ?

          Ta có:

          - Lấy dòng(1) cộng vào dòng(2):; lấy dòng(1) nhân với (-2) rồi cộng vào dòng(3):

                    A ®

- Đổi chổ dòng (2) và dòng(3):  A ® .

Vậy rankA = 3.

* Tính chất:

          i) Hai ma trận có cùng hạng nếu và chỉ nếu chúng tương đương với nhau.

          ii) Hai ma trận được gọi là tương đương với nhau trên trường K nếu và chỉ nếu ma trận này nhận được từ ma trận kia bằng cách qua một số hữu hạn bước biến đổi sơ cấp. Hay nói khác đi, hạng của một ma trận không thay đổi qua phép biến đổi sơ cấp.

* Nhận xét:

          Từ phương pháp tìm hạng của ma trận bằng phương pháp biến đổi sơ cấp. Ta có:

          i) Hạng của một ma trận bậc thang bằng số dòng khác 0 của nó.

          ii) Mọi ma trận bậc thang đều có thể đưa về dạng ma trận bậc thang chính tắc sau một số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp.