Bài: ĐỊNH THỨC

2.1. Định thức của ma trận vuông

2.1.1. Các định nghĩa

­ Định thức cấp 2:

          Cho A là ma trận vuông cấp 2:

Khi đó:det A =  được gọi là định thức cấp 2.

­ Định thức cấp cao (n > 2):

          * Định thức cấp 3: Cho A là ma trận vuông cấp 3:

          , Khi đó:  det A =  là một hằng số được định

nghĩa bằng qui nạp:

          * Nếu n = 1 Þ a = (a) Þ detA = a.

          * Nếu n > 1 thì:

          delA = (-1)i+1ai1|Ai1| + (-1)i+2ai2|Ai2| + ... + (-1)i+jaij|Aij|+... + (-1)i+nain|Ain|.

Tức là ta tính định thức bằng cách khai triển theo dòng thứ i.

Trong đó:

          * (-1)i+jaij|Aij| là phần bù đại số của aij.

          * (-1)i+j  là dấu chỉ số của phần tử ở dòng i cột j.

          * aij là phần tử ở dòng i cột j.

          * |Aij| là định thức con được lập bằng cách bỏ dòng i cột j.

          Qui tắc ưu tiên để chọn dòng, hoặc cột để tính định thức là nên chọn dòng, hoặc cột có nhiều số 0 hoặc số 1, để giảm bớt các bước tính trung gian.

Chú ý:

          + Một định thức cấp 3 ta khai triển được 3 định thức cấp 2.

          + Một định thức cấp 4 ta khai triển được 4 định thức cấp 3.

          Như vậy: một định thức cấp n ta khai triển được (n!)/2 định thức cấp 2.

Nói chung phương pháp này không tiện lợi trong tính toán thực hành khi n ³ 4.

* Nhận xét:

          i) Nên chọn một dòng hoặc cột nào đó rồi nhân với một số khác 0, rồi cộng vào các dòng hoặc các cột khác, để làm xuất hiện nhiều số 0 và số 1, sau đó mới tiến hàng khai triển.

          ii) Giá trị một định thức là một hằng số hoặc một biểu thức.

          iii) Ma trận là một bảng số có kích thước.

2.1.2. Phương pháp tính định thức

­ Đối với định thức cấp 2:

          Lấy tích đường chéo chính trừ tích đường chéo phụ.

Ví dụ 1:

          i) Cho , khi đó: det A =  = const.

          ii) Cho   khi đó: detA = =1(-4) - 2(3) = -10.

­ Đối với định thức cấp cao (n ³ 3):

* Định thức cấp 3:

+ Cách 1: Dùng công thức Scrame.

Viết thêm hai dòng hoặc cột dưới hoặc kế định thức đã cho. Khi đó:

          Tích các phần tử theo đường chéo chính ta lấy dấu cộng (+).

          Tích các phần tử theo đường chéo phụ ta lấy dấu trừ (-).

* Cho A là ma trận vuông cấp 3:, khi đó:

         

Để nhớ định thức cấp 3 ta thường dùng qui tắc sau (qui tắc Sarrus):

         

          a11      a12      a13                                 a11      a12      a13

         

 

          a21      a22      a23                                 a21      a22      a23

 

          a31      a32      a33                                 a31      a32      a33

 

               Dấu (+)                                               Dấu ( - )

Ví dụ 2: Tính định thức

.

ii) Cách 2: Dùng phương pháp triển khai theo dòng (hoặc cột).

 = (-1)1+1a11 

- Const nếu các phần tử của định thức là số thực.

          - Biểu thức nếu các phần tử của định thức có chứa ẩn các số.

          - Số phức nếu các phần tử của định thức thuộc R thuộc C.

Ví dụ 3: Cho A =, khi đó:

          detA = |A| =    khai triển theo dòng 3:

                     = (-1)3+1.0. 

 = 0 + 3.(-4-6) + 2.(1-4) = -36.

­ Đối với định thức cấp cao (cấp n):

          Dùng phương pháp khai triển theo dòng hoặc cột.

Ví dụ 4: Cho A là ma trận vuông cấp n:

          . Khi đó: detA =  khai triển theo dòng i:

= (-1)i+1ai1|Ai1|+(-1)i+2ai2|Ai2|+ ... +(-1)i+jaij|Aij|+ ... +(-1)i+nain|Ai+n|.

Với |Aij| là định thức con còn lại sau khi bỏ đi dòng i và cột j.

* Các phương pháp ứng dụng để tính định thức cấp cao có thể có:

          i) Chọn ưu tiên cho những dòng hoặc cột có nhiều số 0 và số 1 để tiến hành khai triển giúp ta giảm bớt các bước trung gian.

          ii) Dùng các phép biến đổi sơ cấp để đưa các dòng hoặc cột của định thức xuất hiện nhiều số 0 và số 1 trước khi chọn để khai triển.

          iii) Kết hợp nhuần nhuyễn cả hai biện pháp trên.

Lưu ý: Vì định thức bao giờ cũng tồn tại dưới dạng vuông, do đó:

          iv) Dùng phép biến đổi sơ cấp để đưa mọi định thức về dạng tam giác sau một số hữu hạn bước. Khi đó giá trị định thức sẽ bằng tích các phần tử trên đường chéo chính.

Ví dụ 5:

          i) Tính định thức D =

          Ta có: dòng(2)x(-2) cộng vào dòng(1); dòng(2)x3 cộng vào dòng(3); dòng(2) cộng vào dòng(4):

          D =

Ta lấy: dòng(1)x(-1) cộng vào dòng(2); dòng(1)x3 cộng vào dòng(3):

          D = = -1.[4.(-13)-(-2).7] = 38.

ii) Tính định thức cấp 5: D5 =

Ta lấy cột(5)x(-1) rồi cộng lần lượt các cột còn lại:

          D5 =

lần lượt ta cộng các dòng 1, 2, 3, 4 vào dòng cuối ta có:

D5 =  = (a-x)4.(a+4x).

Tương tự, ta mở rộng cho định thức cấp n:

          Dn =  = (a-x)n-1.[a+(n-1)x].

* Dùng phương pháp tách thành tích, phương pháp truy hồi:

Ví dụ 6: Tách định thức D = detA của ma trận vuông cấp n:

          A = , n ≥ 2.

          Ta thấy: A =

Do đó:

D = detA = =

* Ngoài các phương pháp trên ta còn linh hoạt trong việc vận dụng các tính chất của định để tính các giá trị của định thức.

2.2. Các tính chất của định thức

2.2.1. Tính chất 1

          Định thức của ma trận không thay đổi khi ta chuyển vị ma trận.

Tức là: Cho A là ma trận vuông cấp n có ma trận chuyển vị AT, khi đó:

detA =  detAT

Ví dụ 7: Cho A =, Ta có: AT = .

Khi đó: detA = detAT = -8.

2.2.2. Tính chất 2

          Cho A = (aij)nxn là ma trận vuông cấp n. Giả sử ở dòng thứ i nào đó có tính chất là tổng của hai số hạng thì ta có thể tách định thức của ma trận đó thành tổng của hai định thức,nghĩa là:

          A =

Khi đó: detA = |A|

=   +                

Ví dụ 8: Cho A = 

 Khi đó: detA = |A| =  = +

2.2.3. Tính chất 3

Nếu đổi vị trí hai dòng hoặc hai cột của một định thức thì giá trị định thức sẽ đổi dấu.

Ví dụ 9:       i) Cho A =, khi đó:

detA = |A| =  hay detA = |A| =

ii) Cho . Khi đó: detA = |A| =  

Đổi cột 1 với  cột 2

 

Đổi dòng 1 với dòng 2

 
                   =

2.2.4. Tính chất 4

Nếu ma trận có hai dòng hoặc hai cột tỉ lệ với nhau hoặc bằng nhau thì định thức của nó sẽ bằng 0.

          Thật vậy: Nếu định thức Dn có hai dòng thứ i và thứ h trùng nhau thì bằng cách trao đổi hai dòng, định thức Dn vẫn không thay đổi. Trong khi đó theo tính chất 3: định thức Dn đổi dấu:

          Vậy: Dn = -Dn hay Dn = 0.

Ví dụ 10:

          Cho , khi đó: detA = |A| =  = 0 vì cột4 = 2xcột1.

2.2.5. Tính chất 5

          Một định thức sẽ không thay đổi nếu ta thục hiện nhân một dòng hoặc một cột nào đó với một số khác 0 rồi cộng vào các dòng hoặc các cột khác.

Ví dụ 11:

i). Cho D = . Khi đó cho a Î R\{0}, ta có: D =

Nhân dòng (1) với a rồi cộng với dòng (2), ta có:

          D =

ii) Cho: D =

          Ta lấy dòng (1)x2 cộng và dòng (2); dòng (1)x(-2) cộng vào dòng (3); dòng (1)x(-3) cộng vào dòng (4); ta có: D = .

Lấy dòng (2)x2 cộng vào dòng (3); dòng (2)x2 cộng vào dòng (4),

Ta có D =

Lấy dòng (3)x(-2) cộng vào dòng (4), ta có: D =

2.2.6. Tính chất 6

          Cho ma trận A vuông có dạng tam giác trên hay tam giác dưới thì giá trị định thức của ma trận sẽ bằng tích các phần tử trên đuờng chéo chính.

Ví dụ 12:

          i) Cho . Khi đó: detA = |A| = a11.a22.....ann.

ii) Cho: . Có |A| =   = i.3.1.(-2).1 = -6i

2.2.7. Tính chất 7

Nếu ma trận có một dòng hoặc một cột bằng 0 thì giá trị định thức của nó bằng 0.

Ví dụ 13: i) Cho . Khi đó: detA = |A| = 0.

ii) Cho: . Khi đó: detA = |A| = 0.

·        Muốn chứng minh ta tiến hành triển khai hàng hay cột chứa toàn 0.

·        Nhận xét: Sự khác nhau giữa ma trận và định thức

Ma trận

* Là một bảng số có kích thước vuông hoặc chủ nhật.

* Đổi chổ hai dòng hoặc hai cột cho nhau không thay đổi ma trận.

* Quá trình biến đổi sơ cấp để đưa từ ma trận này thành ma trận mới hoàn toàn tương đương với ma trận bang đầu nên quá trình biến đổi ta dùng dấu ® để đi đến ma trận cần thiết.

* Khi nhân một số với một ma trận ta nhân số

* Đổi chỗ hai dòng hoặc hai cột cho nhau, định thức sẽ đổi dấu.

* Phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi giá trị của định thức nên ta trị của định thức nên ta dùng dấu = (bằng) trong quá trình biến đổi.

Định thức

* Giá trị định thức là một hằng số hoặc một biểu thức, chỉ tồn tại ở dạng vuông.

 * Khi nhân một số với một định thức thì ta chỉ đó với tất cả các phần tử của ma trận.

          .[A] = [A]         

do đó muốn đặt thừa số chung cho một ma trận thì ma trận đó tất cả các phần tử phải có cùng thừa số chung.

* Chỉ nhân số đó với một dòng hoặc một cột của định thức mà thôi. Do đó muốn đặt thừa số chung thì chỉ cần định thức đó có một dòng hoặc một cột có cùng thừa số chung

Ví dụ 14: Tính định thức

          Khai triển theo dòng 2, ta có: .

Ví dụ 15: Tính định thức

Đổi chỗ dòng thứ nhất cho dòng thứ ba ta được:

 

Dòng thứ hai bằng dòng hai cộng với (-2) lần dòng thứ nhất; dòng thứ ba bằng dòng ba cộng với (-3) lần dòng thứ nhất; dòng thứ tư bằng dòng tư cộng với (-4) lần dòng thứ nhất, ta có: .

Khai triển theo cột thứ nhất, ta có:

·        Dùng các tính chất của định thức để đưa về dạng ma trận bậc thang.

Ví dụ 16: Tính định thức 

Ta có: