Bài: TÍCH PHÂN SUY RỘNG

4.1. Tích phân suy rộng loại một

Định nghĩa 1:

Giả sử hàm f(x) xác định trên  và khả tích trên mọi đoạn [a; b]. Giới hạn (nếu có) của tích phân  khi  gọi là tích phân suy rộng của hàm f(x) trên , kí hiệu: .

          Vậy: .

·    Nếu  hữu hạn thì hội tụ và hàm f(x) khả tích trên

·    Nếu  vô hạn hoặc không tồn tại thì  phân kỳ.

Tương tự, (Tính hội tụ và phân kỳ cũng tương tự).

          .

Tích phân  hội tụ khi  và  hội tụ.

Ví dụ 1: 1/ Tìm diện tích của miền phẳng giới hạn bởi các đường x = 1, trục Ox và đường cong .

    2/  Tính  .

              3/  Xét  sự  hội  tụ  của  tích  phân .

Giải

1/  là diện tích cần tính.

2/ .

3/. Nếu  thì:

 .

    Nếu  thì:

            .

Vậy  hội tụ khi  và phân kỳ khi .

4.2. Tích phân suy rộng loại hai

Định nghĩa 2:

Giả sử f(x) là hàm bị chặn và khả tích trên mọi đoạn bé tuỳ ý) nhưng không bị chặn trên đoạn . Giới hạn (nếu có) của tích phân  khi  gọi là tích phân suy rộng của hàm f(x) trên đoạn [a; b].

Kí hiệu:

Vậy .

·      Nếu  hữu hạn thì  hội tụ và hàm f(x) khả tích trên

·      Nếu  vô hạn hoặc không tồn tại thì  phân kỳ.

Tương tự, nếu f(x) là hàm khả tích và bị chặn trên mọi đoạn  nhưng không bị chặn trên đoạn  thì  (Tính hội tụ và phân kỳ cũng tương tự).

           (nếu f(x) không bị chặn tại c).

Tích phân  hội tụ khi  và  hội tụ.

Ví dụ 2: 1/  Tính .

          2/  Xét  sự  hội  tụ  của  tích  phân .

          3/ Xét  sự  hội  tụ  của  tích  phân .

Giải

1/              2/ .

          Vậy  phân kỳ.

3/.  Ta có

      Ta có

Vậy  hội tụ nếu  và phân kỳ nếu .

4.3. Điều kiện hội tụ của tích phân suy rộng

4.3.1. Tích phân suy rộng loại một

Định lý 1:

Giả sử f(x) và g(x) là các hàm khả tích trên mọi đoạn hữu hạn [a; b] và , khi đó ta có:

·        Nếu  hội tụ thì hội tụ và .

·        Nếu  phân kỳ thì  phân kỳ.

Ví dụ 3: Xét sự hội tụ của

          Với x ≥ 1, ta có:  vì – x2 ≤ – x.

          Ta có:   hội tụ.

Do đó  hội tụ.

Định lý 2: Giả sử f(x) và g(x) là các hàm không âm và khả tích trên mọi đoạn hữu hạn [a; b]. Khi đó, nếu thì các tích phân cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.

Định lý 3: Nếu  hội tụ thì  hội tụ.

Định lý 4: Điều kiện cần và đủ để tích phân  hội tụ (f(x) ≥ 0 khi a ≤ x < + ∞) là , (A > a) bị chặn. Nghĩa là  (với C là hằng số).

Định lý 5: Cho hàm số y = f(x) khả tích trên mọi đoạn [a; b] (0 < a < b).

i). Nếu tồn tại số > 0 và nếu với x đủ lớn, ta có , c là hằng số dương thì tích phân  hội tụ tuyệt đối.

ii). Nếu tồn tại số  thỏa 0 < 1 và nếu với x đủ lớn, ta có , thì tích phân  phân kỳ.

Ví dụ 4: Xét sự hội tụ của tích phân

Ta có  

Mà tích phân hội tụ nên tích phân đã cho hội tụ tuyệt đối.

Định lý 6: Cho > 0, a > 0 và hàm số  liên tục với mọi x  a. Nếu tồn tại hằng số C > 0 sao cho với mọi b > a, ta có:  thì tích phân hội tụ.

Ví dụ 5: Xét sự hội tụ của tích phân

+ Ta có: , với mọi x > 0 và > 1 thì  hội tụ tuyệt đối.

+ 0 < 1:  nên  hội tụ.

Định nghĩa 3:

·     được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu  hội tụ.

·     được gọi là hội tụ tuyệt đối nếuhội tụ và phân kỳ

4.3.2. Tích phân suy rộng loại hai

Định lý 7:

Giả sử f(x) và g(x) thỏa . Khi đó ta có:

·        Nếu  hội tụ thì hội tụ và .

·        Nếu  phân kỳ thì  phân kỳ.

Định lý 8: Giả sử hàm số f khả tích trên mọi đoạn [a+;b] với 0 << b – a và không bị chặn tại lân cận điểm x = a. Khi đó: 

Thực hiện phép biến đổi , ta có:

 

Trong đó . Suy ra:

Đẳng thức trên biểu thị mối liên hệ giữa hai loại tích phân suy rộng loại một và loại hai.

Ví dụ 6: Xét sự hội tụ của các tích phân sau đây:

a)  " x³ 1: f(x) = ³ 0

                         và <  =  vì a =  > 1

Suy ra:  phải hội tụ.

b) , f(x) =  ® ¥ khi x ® 1 – 0

f(x) =  là một VCL khi x ® 1 – 0

f(x) =  = .  chứng tỏ

f(x) =  là VCL ngang cấp với  vì a =  < 1 .

Þ  phải hội tụ.

3) Xét , f(x) = > 0, "xÎ(0; 1] khi x ® +0

 ~ ;  ~ sin x ~ x  Þ  =  

Khi x ® +0:  là một VCL ngang cấp với  = .

Vì a =  < 1 thì tích phân suy rộng phải hội tụ.

4) , "x ³ 1:  vì  hội tụ,

nên theo định lý  hội tụ tức  hội tụ tuyệt đối.