Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng, độ dài cung phẳng và thể tích vật thể tròn xoay.

3.1. Tính diện tích hình phẳng

·   Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] thì diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x) và các đường thẳng x = a; x = b; y = 0 được tính theo công thức:

.

·   Nếu các hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b] thì diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số y = f(x); y = g(x) và các đường thẳng x = a; x = b được tính theo công thức: .

·   Nếu phương trình đường cong cho dưới dạng , liên tục trên đoạn [a; b] thì diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường ; y = a; y = b và x = 0 được tính theo công thức: .

·        Nếu đường cong cho bởi phương trình tham số  thì công thức  trở thành  trong đó t1, t2 lần lượt là nghiệm của các phương trình  là các hàm số liên tục trên đoạn [t1; t2].

·        Giả sử miền phẳng D giới hạn bởi các đường: x = a, x = b (a ≤ b), y = f1(x), y = f2(x) trong đó f1, f2 liên tục từng khúc trên [a,b]. Gọi diện tích của miền phẳng D là S. Theo ý nghĩa hình học của tích phân xác định, nhận được công thức tính S như sau:

                   

·        Tương tự miền phẳng D giới hạn bởi các đường: y = c, y = d (c ≤ d), x = g1(y), x = g2(y) trong đó g1, g2 liên tục từng khúc trên [c; d]. Gọi diện tích của miền phẳng D là S. Ta có:

·        Nếu miền phẳng D giới hạn bởi đường cong có phương trình cho dưới dạng toạ độ cực.

Liên hệ giữa toạ độ Descartes và toạ độ cực là: . Khi đó:

Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x2 (), y = 2 – x

Giao điểm của các đường y = x2 () và y = 2 - x là nghiệm của hệ 

            

Vậy diện tích cần tìm là:

 (đvdt)

Ví dụ 2: Tính diện tích của hình elíp có các bán trục a,b.

Giải: Hình êlip giới hạn bởi êlíp có phương trình:

Do tính chất đối xứng của êlip qua các trục tọa độ và do phương trình tham số của êlip: x = a.cost; y = b.sint, 0 ≤ t ≤ 2π, nên ta có:

Ví dụ 3: Hãy tính diện tích của hình giới hạn bởi trục hoành và một nhịp của đường Cycloid, cho bởi phương trình tham số:

Ví dụ 4: Tính diện tích của hình trái tim giới hạn bởi đường Cardioid (đường trái tim), trong hệ tọa độ cực cho bởi phương trình: r = a(1 + cos)

Giải: Do tính đối xứng của hình qua trục Ox, vậy:

3.2. Tính độ dài đường cong phẳng

·  Cung cho bởi đường cong có phương trình y = f(x), trong đó f(x) là hàm số đơn trị và có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b]. Độ dài cung AB, với A(a, f(a)) và B(b, f(b)) được tính theo công thức: .

·  Cung cho bởi đường cong có phương trình , trong đó  và là các hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b]. Độ dài cung AB, với được tính theo công thức: 

  (đvđd).

·  Phương trình cho trong dạng toạ độ cực:

Ví dụ 5: Tính độ dài cung của đường cycloide

Ta có

Vậy độ dài cung cần tìm là :    

                    (đvđd).

Ví dụ 6: Hãy tính độ dài của Astroid, phương trình tham số có dạng:

hoặc trong hệ toạ độ Descartes có dạng:  

3.3. Tính thể tích vật thể

·  Vật thể bất kỳ: Là vật thể được giới hạn bởi một mặt cong kín với hai mặt phẳng x = a; x = b vuông góc với Ox. Giả sử S(x) là diện tích thiết diện giữa vật thể và mặt phẳng vuông góc với Ox tại x () và S(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó thể tích của vật thể được tính theo công thức:

                   .

 

·  Vật thể tròn xoay: Là vật thể được tạo ra khi quay hình thang cong giới hạn bởi đường y = f(x), x = a, x = b và y = 0 quanh trục Ox. Khi đó thể tích vật thể tròn xoay được tính theo công thức: .

Chú ý: Vật thể tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong giới hạn bởi đường y = f(x), x = a, x = b và y = 0 quanh trục Oy. Khi đó thể tích vật thể tròn xoay được tính theo công thức: .

Ví dụ 7: Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi đường  y = 2x - x2 và y = 0 khi:

1/  Xoay quanh trục Ox.

2/  Xoay quanh trục Oy.

  Giải

Ta có đường y = 2x - x2 cắt trục Ox tại x = 0 và x = 2 nên ta có:

      1/  .

      2/  .

Ví dụ 8: Hãy tính thể tích của êlipxôít với các bán trục a, b, c:

Thiết diện của elipxôit vuông góc với trục Ox là một hình elíp. Thiết diện nằm trên mặt phẳng x = x0, x0[- a; a], được giới hạn bởi elip có các bán trục:

, phương trình là:

Diện tích thiết diện biểu diễn dưới dạng

Vậy:

Ví dụ 9: Tính thể tích vật thể do một nhịp Cycloid quay xung quanh trục Ox tạo ra. Biết Cycloid cho bởi phương trình tham số là.

3.4. Tính diện tích mặt tròn xoay

Mặt tròn xoay là một mặt cong sinh ra do ta quay quanh trục Ox một cung đường cong phẳng AB có phương trình y = f(x), , với f(x) là hàm số đơn trị và có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b], A(a, f(a)), B(b, f(b)).

Diện tích mặt tròn xoay được tính theo công thức:

.

          + Cung AB cho bởi phương trình tham số:

          + Cung AB cho bởi phương trình trong hệ tọc độ cực:

Chú ý:

1/  Nếu quay đường cong phẳng quanh trục Oy thì:

.

2/  Nếu đường cong phẳng cho bởi phương trình  (với hàm số  là hàm số đơn trị và có đạo hàm liên tục trên [a; b]). Khi đó ta có:

Ø     Khi quay quanh trục Ox: .

Ø     Khi quay quanh trục Oy: .

Ví dụ 10: Tính diện tích mặt tạo nên khi quay đường parabol  

quanh trục Ox.

Ta có

Vậy diện tích cần tìm là:        .

Ví dụ 11: Đường cong cho bởi phương trình r = a(1 + cos) quay quanh trục Ox tạo ra một mặt tròn xoay. Tính diện tích mặt cong này.